Chapitre 02 - Cours

RAISONNEMENT QUANTITATIF

Tout le quantitatif des annales 2020-2025 classé par mécanismes : 22 modules de cours, formulaire complet en LaTeX, 84 applications corrigées et 2 mini-sections d'entraînement chronométrées.

00 - Cadre

Diagnostic général de l'épreuve

Architecture stable : 2 sections quantitatives par session, 20 questions en 20 minutes chacune. Le programme est limité (lycée), mais les habillages varient. L'enjeu n'est pas de réviser tout : c'est de transformer un énoncé court en opération fiable, et de choisir la méthode la plus rapide.

Dimension	Ce que les annales testent	Conséquence pédagogique
Vitesse	20 questions en 20 minutes	Installer des automatismes, pas seulement des connaissances
Lecture	Énoncés courts mais denses, graphiques, tableaux, figures	Surligner mentalement les données utiles
Mathématiques	Programme limité, habillages variés	Classer les exercices par mécanisme
Pièges	Figures non à l'échelle, unités, réponses plausibles	Entraîner systématiquement la vérification

01 - Cartographie

Carte exhaustive des notions

Bloc	Notions à maîtriser	Mécanismes observés
Arithmétique	entiers, parité, premiers, divisibilité, restes, chiffres	reste mod 4, produit de chiffres, zéros dans un produit
Fractions / rapports	addition, comparaison, simplification, part restante	part payée, sucre dans une confiture
Pourcentages	pourcentage, hausse, baisse, pourcentage pondéré	consommation, remises pondérées, salaires indexés
Proportionnalité	règle de trois, ratios, inverse proportion	tableaux/visiteurs, volumes, notes
Moyennes	simple, avec ajout, deux groupes, écart à la moyenne	7 nombres de moyenne 30 + ajout de 110
Algèbre	équations linéaires, valeur absolue, opérations définies	isoler y, opération $(x), expressions imposées
Puissances	exposants ±, quotient, produits	simplifications littérales
Identités remarquables	carrés, différence de carrés	$x^2-y^2$ , factorisations
Inégalités	ordre, intervalles, puissances entre 0 et 1	$0<a<b<1$ , intervalle de $a/b$
Probabilités	cas favorables, complémentaire, tirages, séquences	pièce + dé, boules avec remise
Dénombrement	principe multiplicatif, affectations, codes	3 candidats / 2 postes, codes 3 chiffres
Géométrie plane	angles, parallèles, triangle, Pythagore, inégalité triangulaire	longueurs impossibles, trapèze isocèle
Cercle	aire, périmètre, arc, secteur, angles au centre	arc $\pi$ sur cercle de rayon 4
Espace	pavé, cube, cylindre, cône, pyramide	cône inscrit, cylindre/cône même volume
Distance / vitesse	vitesse moyenne, conversion, chemin court	sprinteur/cycliste, quadrillages
Rendement	travail commun, débit, production	$W=R\times t$
Données	lecture légende, séries, paiements, prévisions	ventes par ville, achats en versements

02 - À savoir par cœur

Règles générales

Figures et géométrie

Les figures ne sont pas à l'échelle : une égalité, un parallélisme ou un angle droit ne valent que s'ils sont donnés ou marqués.

Toute grandeur géométrique est positive, sauf mention contraire.

$\sqrt{a}$ avec $a>0$ désigne la racine positive.

Nombres

$0$ n'est ni positif ni négatif.

$0$ est pair.

$1$ n'est pas premier.

Une question de graphique indépendante ne réutilise aucune hypothèse précédente.

03 - Référence

Formulaire complet

Notion	Formule
Pourcentage	$a\%\ \text{de}\ x = \tfrac{a}{100}\,x$
Hausse de p %	$x \mapsto x\left(1+\tfrac{p}{100}\right)$
Baisse de p %	$x \mapsto x\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$
Moyenne	$\bar{x}=\tfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$
Somme via moyenne	$S=n\bar{x}$
Proportion	$\tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc$
Distance	$d=v\times t$
Rendement	$W=R\times t$
Puissances	$a^m a^n=a^{m+n},\ \tfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\ (a^m)^n=a^{mn}$
Exposant négatif	$a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}$
Identités remarquables	$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2,\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Factorielle	$n!=n(n-1)\cdots 2\times 1$
Aire triangle	$A=\tfrac{b\,h}{2}$
Pythagore	$c^2=a^2+b^2$
Inégalité triangulaire	$a+b>c,\ a+c>b,\ b+c>a$
Aire rectangle	$A=L\times l$
Aire trapèze	$A=\tfrac{(B+b)h}{2}$
Somme angles polygone	$(n-2)\times 180^\circ$
Angle polygone régulier	$180^\circ-\tfrac{360^\circ}{n}$
Aire cercle	$A=\pi r^2$
Périmètre cercle	$P=2\pi r$
Longueur d'arc	$L=2\pi r\,\tfrac{\theta}{360}$
Aire secteur	$A=\pi r^2\,\tfrac{\theta}{360}$
Volume pavé	$V=L\,l\,h$
Volume cylindre	$V=\pi r^2 h$
Aire latérale cylindre	$A=2\pi r h$
Volume cône	$V=\tfrac{\pi r^2 h}{3}$
Volume pyramide	$V=\tfrac{S\,h}{3}$

Module 01

Arithmétique, divisibilité, restes

Nombres entiers : chiffres, produits, restes, divisibilité, parité, consécutifs. Terrain fréquent de petites questions piégeuses.

Opération	Résultat
pair + pair	pair
pair + impair	impair
impair + impair	pair
pair $\times$ n	pair
impair $\times$ impair	impair

Restes : dire que le reste de $x$ par $4$ vaut $r$ , c'est écrire $x=4q+r$ avec $r\in\{0,1,2,3\}$ . On teste souvent les 4 cas.

Reste modulo 4

restes

Énoncé

On sait que

x

\tfrac{x}{4}+\tfrac12

sont des entiers positifs. Quel est le reste de

x

par

4

Nombre de zéros dans un produit

chiffres

Énoncé

Soit

Z(n)

le nombre de zéros de

n

a

est à 2 chiffres,

Z(8a)=2

. Quelle propriété est vraie ?

Trois entiers consécutifs

consécutifs

Énoncé

a<b<c

consécutifs avec

a+b+c=0

. Combien de valeurs déterminées ?

Produit inférieur à la somme

raisonnement

Énoncé

m,n>0

entiers,

m<n

mn<m+n

. Montrer

m=1

Module 02

Fractions, rapports, proportions

Réflexe : remettre au même dénominateur, ou poser une base commode.

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}

Part restante

fractions

Énoncé

Sarah paie

\tfrac{4}{15}

, Ilan

\tfrac{2}{5}

. Part de Noa ?

Proportion dans un mélange

rapport

Énoncé

Sucre =

\tfrac{3}{8}

du poids. 1 kg de confiture coûte 12 ₪. Coût pour 1,5 kg de sucre ?

Règle de trois

proportionnalité

Énoncé

18 tableaux → 12 visiteurs/j. 54 tableaux ? Visiteurs en 4 jours ?

Comparer des fractions

comparaison

Énoncé

Plus grand entre

\tfrac{7}{18}

\tfrac{5}{13}

Module 03

Pourcentages et variations

Trois habits : pourcentage simple, variations successives, pourcentage pondéré. Piège : moyenner des pourcentages dont les bases diffèrent.

a\% \text{ de } x = \tfrac{a}{100}x

x \text{ augmenté de } p\% = x\left(1+\tfrac{p}{100}\right)

x \text{ diminué de } p\% = x\left(1-\tfrac{p}{100}\right)

Consommation électrique

% baisse

Énoncé

B = 1, A = 2 (consomme 2× plus). 6 ampoules A. On en remplace 3 par B. Baisse en % ?

Remise pondérée

% pondéré

Énoncé

Écran = 4 × clavier. Écran -40 %, clavier -10 %. Remise globale ?

Variations successives

hausse + baisse

Énoncé

Hausse de 25 %, puis baisse de 20 %. Variation globale ?

Salaire indexé

% relatif

Énoncé

2020 : 10 000. 2021 : 120 % de 2020. 2022 : 80 % de 2021. Salaire 2022 ?

Module 04

Moyennes, sommes et écarts

La moyenne cache une somme. Réflexe : $S=n\bar{x}$ .

\bar{x}=\tfrac{S}{n} \;\Longleftrightarrow\; S=n\bar{x}

Ajout d'une donnée

moyenne

Énoncé

Moyenne de 7 nombres = 30, on ajoute 110. Nouvelle moyenne ?

Deux moyennes comparées

système

Énoncé

\tfrac{A+B}{2}=\tfrac{C+D}{2}+6

A=C+6

B

D

Écart égal à moyenne

équation

Énoncé

Lina + Maya = 60 billes. Écart = moyenne. Maya ?

Moyenne journalière

tableau

Énoncé

Ventes : 200, 350, 450, 600. Moyenne ?

Module 05

Algèbre, valeurs absolues, opérations définies

Isoler l'inconnue est souvent plus rapide que tester les réponses. Pour une opération inventée, on applique strictement la définition.

|x|=\begin{cases}x & \text{si } x\ge 0\\ -x & \text{si } x<0\end{cases}

Isoler une variable

équation

Énoncé

x-5y=1

. Exprimer

y

Valeurs absolues en chaîne

valeur absolue

Énoncé

Résoudre

|4|-|-7|+|-11|-a=20

Opération définie

définition

Énoncé

T(x)=-\tfrac{1}{x}

. Calculer

\tfrac{T(x)}{T(x^{-2})}

Nombre de solutions

valeur absolue

Énoncé

Combien de solutions à

x^2-|x|=0

Module 06

Puissances, racines, identités remarquables

a^m a^n=a^{m+n},\quad \tfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn}

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Différence de carrés

identité

Énoncé

x,y

entiers

<10

x^2-y^2=20

. Trouver

x-y

Comparer entre 0 et 1

inégalités

Énoncé

0<a<b<1

. Plus grand de

a^2,b^2,a,b

Quotient de puissances

simplification

Énoncé

Simplifier

\tfrac{a^6 b^5 c^2}{a^3 b^2 c^4}

Racine positive

racine

Énoncé

x^2=49

. Que vaut

\sqrt{x^2}

Module 07

Inégalités et intervalles

\text{Si } 0<a<b,\ \text{ alors }\ \tfrac{1}{b}<\tfrac{1}{a}

Intervalle d'un quotient

bornes

Énoncé

\tfrac{1}{5}<a<\tfrac{1}{4}

2<b<3

. Intervalle de

\tfrac{a}{b}

Multiplication par négatif

inégalités

Énoncé

-3<x<2

. Encadrer

-2x

Carré toujours positif

inégalité

Énoncé

2xy<x^2+y^2

. Conclusion ?

Plus petit produit

optimisation

Énoncé

1<a<4

5<b<9

. Min de

ab

Module 08

Factorielle, dénombrement, codes

n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\times 1

Factorielle simple

factorielle

Énoncé

Calculer

\tfrac{7!}{5!}

Affectation de candidats

dénombrement

Énoncé

3 candidats : 1 dev, 1 contrôle, 1 non embauché. Possibilités ?

Code à 3 chiffres

principe multiplicatif

Énoncé

Chiffres dans

\{1,2,3\}

, milieu strictement supérieur aux deux autres. Combien ?

Ordres possibles

permutations

Énoncé

4 élèves en ligne. Ordres ?

Module 09

Probabilités

Réflexes : compter les cas, ou passer par le complémentaire.

P(E)=\tfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}

P(\overline{E})=1-P(E)

Pièce et dé

composée

Énoncé

Pièce + dé. Dan : noir + (1 ou 2). Marc : blanc + (5 ou 6). Pas de gagnant ?

Séquences équiprobables

remise

Énoncé

5 N + 5 B, tirages avec remise, 6 couleurs. NBNBNB, BBBBBB, NNNBBB : la moins probable ?

Au moins un 6

complémentaire

Énoncé

Deux dés. Probabilité d'au moins un 6 ?

Choix au hasard

favorables

Énoncé

3 R, 2 J. Probabilité rouge ?

Module 10

Suites, processus, problèmes à étapes

Pour les processus alternants, écrire une ligne de temps.

Croissance alternée

suite à étapes

Énoncé

+3 cm le jour, ×2 la nuit. Lundi 8h : 2 cm. Mercredi 8h ?

Montre arrêtée

temps

Énoncé

Arrêt 1h20 avant arrivée, redémarre 15 min avant. À l'arrivée affiche 9h10. Heure réelle ?

Cycle de production

répétitif

Énoncé

12 pages/min pendant 5 min, repos 1 min. En 13 min ?

Suite de remises

multiplicatif

Énoncé

Stock 500, -10 % puis +20 %. Final ?

Module 11

Distance, vitesse, temps, quadrillages

Sur quadrillage, on utilise souvent la distance de Manhattan : nombre de segments H et V parcourus.

d=v\times t,\quad v=\tfrac{d}{t},\quad t=\tfrac{d}{v}

Sprinteur et cycliste

vitesse

Énoncé

Cycliste sur rectangle 600 × 200 m à 24 km/h. Sprinteur fait 600 m dans le même temps. Sa vitesse ?

Quadrillage

Manhattan

Énoncé

A à 3 cases à gauche, 4 en bas de F. Cases de 10 km. Distance min ?

Coût de trajet

proportion

Énoncé

55 km × 2 ₪/km.

Vitesse moyenne

totale/totale

Énoncé

60 km en 1 h, puis 90 km en 2 h. Vitesse moyenne ?

Module 12

Rendement et travail

Si on fait un travail en $t$ heures, le rendement est $\tfrac{1}{t}$ travail/h.

\text{travail}=\text{rendement}\times\text{temps}

Travail commun

rendement

Énoncé

Léa 4 h, Noam 6 h. Ensemble ?

Deux machines

production

Énoncé

30 et 45 pièces/h. En 4 h ?

Débit

remplissage

Énoncé

Robinets 3 h et 6 h. Ensemble ?

Travail restant

fractionnaire

Énoncé

\tfrac{2}{5}

en 3 h. Total ?

Module 13

Angles, parallèles, droites

\text{angle plat}=180^\circ,\quad \text{tour}=360^\circ

Droites parallèles

angles

Énoncé

Sécante, angle intérieur 130°. Adjacent sur la même droite ?

Angles opposés

sommet

Énoncé

2 droites, un angle 72°. Opposé par le sommet ?

Triangle

somme angles

Énoncé

45° et 65°. Troisième ?

Trapèze isocèle

angles base

Énoncé

Grande base 70°. Autre angle de la grande base ?

Module 14

Triangles : Pythagore, inégalité, spéciaux

L'inégalité triangulaire est stricte. Tester les deux plus petits côtés contre le plus grand suffit.

a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a

Inégalité triangulaire

possible

Énoncé

Lequel n'est pas un triangle : (2,6,7), (4,5,8), (5,6,12), (8,9,10) ?

Pythagore

rectangle

Énoncé

Côtés 66 et 88. Hypoténuse ?

Triangle 30-60-90

spécial

Énoncé

Hypoténuse 14. Côté opposé à 30° ?

Diagonale d'un carré

isocèle rectangle

Énoncé

Côté

a

. Diagonale ?

Aire d'un triangle

aire

Énoncé

Base 12, hauteur 5.

Module 15

Quadrilatères, trapèzes, carrés, rectangles

A_{\text{rect}}=L\times l,\quad A_{\text{trap}}=\tfrac{(B+b)h}{2}

Trapèze dans un carré

aire

Énoncé

Carré aire 400, petite base 12, grande base = côté du carré.

Trapèze isocèle

aire

Énoncé

B=9, b=5, h=3.

Rectangle modifié

périmètre

Énoncé

L = 2 × l. Longueur ×5, largeur ×2. Facteur du périmètre ?

Diagonales d'un carré

rapport

Énoncé

Carré côté

s

\tfrac{AC+BD}{P}

Module 16

Polygones réguliers et hexagone

\text{somme angles}=(n-2)\times 180^\circ

\text{angle régulier}=180^\circ-\tfrac{360^\circ}{n}

Hexagone dans un rectangle

hexagone

Énoncé

Hexagone régulier de côté

x

, deux côtés horizontaux. Largeur et hauteur du rectangle englobant ?

Aire du rectangle englobant

hexagone

Énoncé

Avec dimensions précédentes.

Angle d'un hexagone

régulier

Énoncé

Angle intérieur ?

Somme d'un pentagone

polygone

Énoncé

Angles intérieurs ?

Module 17

Cercle, arc, secteur

A=\pi r^2,\quad P=2\pi r,\quad L_{arc}=2\pi r\,\tfrac{\theta}{360},\quad A_{sect}=\pi r^2\,\tfrac{\theta}{360}

Arc de cercle

angle au centre

Énoncé

Rayon 4, arc

\pi

cm. Angle ?

Secteur

aire

Énoncé

r=6, angle 60°.

Périmètre

cercle

Énoncé

Diamètre 10.

Aire à partir du diamètre

cercle

Énoncé

Diamètre 14.

Module 18

Géométrie de l'espace

V_{\text{pavé}}=Llh,\quad V_{\text{cyl}}=\pi r^2 h,\quad V_{\text{cône}}=\tfrac{\pi r^2 h}{3}

Cône inscrit dans un pavé

volume

Énoncé

Base carrée 4, hauteur 6, cône inscrit.

Cône et cylindre même volume

rapports

Énoncé

Même hauteur, même volume.

r_{\text{cyl}}:r_{\text{c}}

Volume cylindre

volume

Énoncé

r=3, h=10.

Aire totale d'un cube

solide

Énoncé

Arête 5.

Cylindre déroulé

aire latérale

Énoncé

r=2, h=7.

Module 19

Coordonnées et géométrie analytique

d_H=|x_2-x_1| \quad(\text{même } y)

d_V=|y_2-y_1| \quad(\text{même } x)

Trapèze sur repère

aire

Énoncé

Bases 6 et 3, hauteur 4.

Rectangle par coordonnées

aire

Énoncé

A(0,0), B(5,0), C(5,3), D(0,3).

Milieu

coordonnées

Énoncé

A(2,5), B(8,1).

Distance horizontale

coordonnées

Énoncé

A(-2,4), B(5,4).

Module 20

Lecture de tableaux et graphiques

La légende est la clé. Méthode : titre → légende → indépendance → ligne/colonne → calcul → unité.

Tableau de ventes

lecture

Énoncé

Olivia : A300 B800 C350 D700 E100 F200. Mady : A150 B450 C600 D300 E400 F400. Combien de villes Mady > Olivia ?

Versements égaux

tableau

Énoncé

240 ₪ en 3 versements.

Classification

double entrée

Énoncé

20 pamplemousses, 8 bien identifiés. Probabilité ?

Salaire indexé

% relatif

Énoncé

2010 : 10 000. 2011 : 120 %. 2012 : 110 %.

Intervalle de prédiction

intervalles

Énoncé

Prédit [70, 80], note réelle 80.

Plantes et températures

intersection

Énoncé

A : [10, 25]. B : [20, 30]. Survie commune ?

Module 21

Stratégies de résolution rapide

Situation	Méthode rapide
Pourcentage	poser une base 100
Moyenne	passer par la somme totale
Probabilité au moins un	calculer le complémentaire
Triangle possible	tester les deux petits côtés contre le plus grand
Graphique	lire la légende avant la question
Expression littérale	factoriser ou tester des valeurs simples
Question de temps	faire une ligne chronologique
Question de proportion	poser un ratio constant

Module 22

Pièges fréquents et antidotes

Piège	Symptôme	Antidote
Figure non à l'échelle	On voit une égalité non donnée	Ne croire que les marques et données
% successifs	Additionner les pourcentages	Multiplier les coefficients
Moyenne	Moyenner une moyenne avec une valeur	Revenir à la somme
Probabilité	Croire qu'une séquence régulière est moins probable	Comparer des séquences précises
Triangle	Accepter $(5,6,11)$	Inégalité stricte : $5+6>11$ est faux
Unités	Mètres avec km/h	Convertir avant de calculer
Tableau	Mélanger ligne et colonne	Identifier la variable réelle vs observée
Intervalle	Inverser sans changer l'ordre	Attention aux inverses de positifs

Modules 23-24

Mini-sections d'entraînement

Deux mini-sections de 20 questions chronométrées 20 minutes, originales mais fidèles aux mécanismes des annales.

Section A

Section B

Module 25

Plan d'entraînement quantitatif - 8 semaines

Semaine	Objectif	Travail
1	Automatismes numériques	fractions, %, puissances, valeurs absolues
2	Proportions et moyennes	règle de trois, moyenne avec ajout, écarts
3	Algèbre rapide	équations, opérations définies, identités remarquables
4	Probabilités et dénombrement	cas favorables, complémentaire, codes, affectations
5	Géométrie plane	angles, triangles, inégalité triangulaire, Pythagore, trapèzes
6	Cercle et espace	arcs, secteurs, pavés, cylindres, cônes, pyramides
7	Données	graphes, tableaux, classifications, salaires indexés, versements
8	Simulation	2 sections de 20 questions / 20 min + correction par mécanisme

Synthèse

Les nombres changent, les décors changent, mais les mécanismes reviennent : traduire, simplifier, choisir la bonne formule, ne pas croire la figure, compter proprement et lire la légende.

RAISONNEMENT QUANTITATIF

Diagnostic général de l'épreuve

Carte exhaustive des notions

Règles générales

Figures et géométrie

Nombres

Formulaire complet

Arithmétique, divisibilité, restes

Reste modulo 4

Voir la correction

Nombre de zéros dans un produit

Voir la correction

Trois entiers consécutifs

Voir la correction

Produit inférieur à la somme

Voir la correction

Fractions, rapports, proportions

Part restante

Voir la correction

Proportion dans un mélange

Voir la correction

Règle de trois

Voir la correction

Comparer des fractions

Voir la correction

Pourcentages et variations

Consommation électrique

Voir la correction

Remise pondérée

Voir la correction

Variations successives

Voir la correction

Salaire indexé

Voir la correction

Moyennes, sommes et écarts

Ajout d'une donnée

Voir la correction

Deux moyennes comparées

Voir la correction

Écart égal à moyenne

Voir la correction

Moyenne journalière

Voir la correction

Algèbre, valeurs absolues, opérations définies

Isoler une variable

Voir la correction

Valeurs absolues en chaîne

Voir la correction

Opération définie

Voir la correction

Nombre de solutions

Voir la correction

Puissances, racines, identités remarquables

Différence de carrés

Voir la correction

Comparer entre 0 et 1

Voir la correction

Quotient de puissances

Voir la correction

Racine positive

Voir la correction

Inégalités et intervalles

Intervalle d'un quotient

Voir la correction

Multiplication par négatif

Voir la correction

Carré toujours positif

Voir la correction

Plus petit produit

Voir la correction

Factorielle, dénombrement, codes

Factorielle simple

Voir la correction

Affectation de candidats

Voir la correction

Code à 3 chiffres

Voir la correction

Ordres possibles

Voir la correction

Probabilités