Arithmétique, divisibilité, restes

Soit $x$ un entier strictement positif tel que $\frac{x}{4}+\frac{1}{2}$ soit aussi un entier positif. Quel est le reste de $x$ dans la division euclidienne par $4$ ?

On note $Z(n)$ le nombre de zéros qui apparaissent dans l'écriture décimale de $n$. Soit $a$ un entier à deux chiffres tel que $Z(8a)=2$ (autrement dit, $8a$ contient exactement deux zéros). Quelle propriété $a$ doit-il nécessairement vérifier ?

Trois entiers $a<b<c$ sont consécutifs et leur somme vaut $0$. Combien de ces trois entiers sont alors entièrement déterminés ?

Soient $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs vérifiant $m<n$ et $mn<m+n$. Démontrer qu'alors $m=1$.